辛向量空间标准辛空间
时间：2023-04-01 11:54:01 | 来源：营销百科
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辛向量空间标准辛空间：标准辛空间
R2n 带有由一个非奇异斜对称矩阵给出的辛形式 ω。典型地，ω 写成矩阵形式表为分块矩阵
这里 In 是 n × n 单位矩阵。用基向量表示
:
一个经过修改的正交化过程指出任何有限维辛向量空间都有这样一组基，经常称为
达布基或
辛基底。
有另外一种方式理解标准辛形式。因上面所使用的带有标准结构的模型空间
Rn 容易导致误会，我们用一个'匿名'空间替代之。设 V 是一个 n-维实向量空间，V∗ 为其对偶空间。现在考虑直和 W:= V ⊕ V∗，带有如下形式：
选取 V 的任何一组基 (v1, …, vn) ，考虑其对偶基
我们能将基理解成在 W 中的向量。若记xi = (vi, 0) 和 yi = (0, vi∗)，将它们放在一块，组成了 W 一组完整的基，
这里定义的形式 可以证明具有本节最初的那些性质，换句话说，每一个辛结构都同构于一个形如V ⊕ V∗的形式。
对子空间V的选择不是唯一的,对V选择的过程称为
极化. 给出了一个这样的同构的子空间称为一个
拉格朗日子空间或简称
拉氏子空间.更加明确的说，给定一个拉氏子空间(如之前定义), 那么对基 的选择，通过性质决定了对应的一组对偶基.
类比复结构每一个辛结构都同构于一个形如V ⊕ V∗的形式，（某个向量空间上的）每一个复结构都同构于一个形如V ⊕ V∗的形式。利用这些结构，一个n-维流形的切丛,看做一个2n-维流形,拥有一个殆复结构,并且一个n-维流形余切丛,看做一个2n-维流形,拥有一个辛结构:
拉格朗日子空间在复空间中的类似物是其实部构成的实子空间，这个实子空间的复化则是全空间W = V ⊕ J'
V。
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