空间曲率基本内容
时间：2023-03-05 17:39:02 | 来源：营销百科
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空间曲率基本内容：空间曲率：表征某种给定 度规的空间对于欧氏空间的偏离程度的量。举例说，球面是一种二维的弯曲空间，球面上弧元的平方是： 。
式中 、 为球面上的点在过球心的平面上投影的坐标; 是球的半径;是这个空间的曲率。对于一般的二维曲面上的各个点,能借两个单参数曲线族（ =常数, =常数）所定义的坐标 和 来表示。在其上弧元的平方是：
d = 11d 2 12d d 22d ,
式中 11、 12、 22为坐标 、 的函数。它反映着空间的度量性质。过这种曲面上的每一点作切面，在切面上存在两个互相垂直的方向。在这两个方向上曲率1/ ,分别达到极大值和极小值1/ 和1/ 2。量
称为高斯曲率。
黎曼研究了更一般的弯曲空间。在满足一定条件的集合中给定一个二阶协变张量场；对于局部坐标 ，…， ,这个张量场可以写为 ( ,…, ),它是对称的,并且是非退化的。这样的集合称为黎曼空间。 称为黎曼空间的度规张量。在这种空间中的弧元平方定义为d =g ( ,…, )d d 。上指标与下指标相同,代表这个指标分别取空间中各维来求和。这种空间的弯曲性质用黎曼曲率张量表示为：
式中 ，
被称作联络。由 经过一次升标和缩并运算,可以得到另外两个表征空间弯曲的量,即里齐张量 和标量曲率 。由某点上两个线性独立的方向 ξ媰，ξ媱决定的标量：
叫作黎曼空间在该点的黎曼曲率。
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